Question

（2010•天津模擬）已知函數f（x）=cosxsinx（x∈R），給出下列四個命題：
①若f（x₁）=-f（x₂），則x₁=-x₂            ②f（x）的最小正周期是2π；
③f（x）在區間[-

π

4

，

π

4

]上是增函數；     ④f（x）的圖象關于直線x=

3π

4

對稱；
⑤當x∈[-

π

6

，

π

3

時，f（x）的值域為[-

3

4

，

3

4

]．
其中正確的命題為（　　）

A．①②④

B．③④⑤

C．②③

D．③④

Answer 1

分析：根據題意把函數化簡為f（x）=

1

2

sin2x，①可以舉例判斷其實錯誤的．②根據周期公式可得函數周期為π．③求出函數的所以單調增區間即可得到③正確．④求出函數的所有對稱軸可驗證得④正確．⑤根據題意求出2x∈[-

π

3

，

2π

3

]，所以sin2x∈[-

3

2

，1]，進而求出函數的值域，即可得到⑤錯誤．

解答：解：由題意可得：f（x）=cosxsinx=

1

2

sin2x，
①f（

π

6

）=-f（

2π

3

），但是不滿足x₁=-x₂，所以①錯誤．
②根據周期公式可得：f（x）=

1

2

sin2x的周期為π．所以②錯誤．
③f（x）=

1

2

sin2x的單調增區間為[kπ-

π

4

，kπ+

π

4

]，（k∈Z），顯然③正確．
④f（x）=

1

2

sin2x的所有對稱軸為x=

kπ

2

+

π

4

，顯然④正確．
⑤f（x）=

1

2

sin2x，因為x∈∈[-

π

6

，

π

3

]時，所以2x∈[-

π

3

，

2π

3

]，所以sin2x∈[-

3

2

，1]，所以f（x）的值域為[-

3

4

，2]．所以⑤錯誤．
故選D．

點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握二倍角公式，以及三角函數的有關性質（單調性，周期性，奇偶性，對稱性等）．