Question

半徑為R的球O的截面BCD把球面面積分為兩部分，截面圓O₁的面積為12π，2OO₁=R，BC是截面圓O₁的直徑，D是圓O₁上不同于B，C的一點，CA是球O的一條直徑．
（1）求證：平面ADC⊥平面ABD；
（2）求三棱錐A-BCD的體積最大值；
（3）當D分

BC

的兩部分的比

BD

：

DC

=1：2時，求D點到平面ABC的距離．

Answer 1

分析：（1）連OO₁，則OO₁⊥面BDC，利用OO₁∥AB，可得AB⊥面BCD，進而可證明CD⊥面ABD，即可證得平面ADC⊥平面ABD；
（2）AB⊥面BDC，要使V_A-BCD取最大，則需S_△BCD取最大；
（3）先證明面ABC⊥面BCD，在平面BDC中，作DE⊥BC于E，則DE⊥面ABC，由此可求D點到平面ABC的距離．

解答：（1）證明：連OO₁，則OO₁⊥面BDC，△ABC中，OO₁∥AB，∴AB⊥面BCD．

∵CD在面BCD內，∴AB⊥DC
又由題意知BD⊥DC且AB∩BD=B，∴CD⊥面ABD
∵CD?面ACD，
∴平面ADC⊥平面ABD；
（2）解：∵R=2OO₁，S_圓O1=12π，∴O₁C=2

3

．
在△O₁OC中，OO₁²+O₁C²=R²，∴R=4，OO₁=2
∵AB=2OO₁，∴AB=4
∵AB⊥面BDC，∴要使V_A-BCD取最大，則需S_△BCD取最大．
S_△BCD=

1

2

BD•CD≤

1

4

(BD2+CD2)=

1

4

BC2=12（當且僅當BD=CD時取“=”）
∴（S_△BCD）_max=12．
∴三棱錐A-BCD的體積最大值

1

3

×12×4=16；
（3）解：由（1）可知AB⊥面BCD．
又∵AB?面ABC，∴面ABC⊥面BCD，
∵面ABC∩面BCD=BC，在平面BDC中，作DE⊥BC于E，則DE⊥面ABC，
又由題設當弧BD：弧DC=1：2時，可知∠BO₁D=60°，∠DO₁C=120°，
∴BD=2

3

，CD=6．
在Rt△BDC中，由BD•CD=BC•DE，可得DE=

BD•CD

BC

=

6

2

，
故D點到平面ABC的距離為

6

2

．

點評：本題考查面面垂直，考查三棱錐體積的計算，考查點到面距離的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．