Question

半徑為R的球O的截面BCD把球面面積分為兩部分，截面圓O₁的面積為12π，2OO₁=R，BC是截面圓O₁的直徑，D是圓O₁上不同于B，C的一點，CA是球O的一條直徑．
①求證：平面ADC⊥平面ABD；
②求三棱錐A-BCD的體積最大值；
③當D分BC的兩部分的比BD：DC=1：2時，求二面角B-AC-D的正切值．

Answer 1

【答案】分析：①證明平面ADC內的直線DC，垂直平面ABD內的兩條相交直線AB，BD，即可證明平面ADC⊥平面ABD；
②先求出球的半徑，AB=4，要V_A-BCD取最大，則需S_△BCD取最大即可；
③D分BC的兩部分的比BD：DC=1：2，過D作DE⊥BC則DE⊥平面ABC，過D作DF⊥AC于F，連EF，∠EFD為二面角D-AC-B的平面角，解三角形即可求二面角B-AC-D的正切值．
解答：解：（1）連OO₁，則OO_{1⊥面BDC△ABC中，}
OO₁∥AB
∴AB⊥面BCD，
∵CD在面BCD內
∴AB⊥DC又由題意知BD⊥DC且AB∩BD=B
∴CD⊥面ABD∵CD在面ACD內
∴面ACD⊥面ABD（4分）
（2）∵S_⊙=12π∴O₁C=2R=2OO₁
在△O₁OC中OO₁²+O₁C²=R²
∴R=4OO₁=2∵AB=2OO₁∴AB=4
∵AB⊥面BDC，
要V_A-BCD取最大，則需S_△BCD取最大
∵（A_△BCD）_max=（9分）
（3）當弧BD：弧DC=1：2時∠BO₁D=60°，∠DO₁C=120°
∴BD=CD=6
∵AB⊥面BDC∴面ABC⊥面BDC，面ABC∩面BCD=BC
過D作DE⊥BC則DE⊥平面ABC，過D作DF⊥AC于F，
連EF則∠EFD為二面角D-AC-B的平面角，
在△ADC中，DF=
在△DC中，
∴二面角D-AC-BD的大小為atcsin（14分）
點評：本題考查平面與平面垂直的判定，棱柱、棱錐、棱臺的體積，二面角及其度量，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．