Question

一火車鍋爐每小時消耗煤的費用與火車行駛的速度的立方成正比，已知當(dāng)速度為每小時20千米時，每小時消耗的煤的費用為40元；火車行駛的其它費用為每小時200元，則火車行駛的速度為

10

3	20

（千米/小時）時，火車從甲城開往乙城的總費用最省（已知甲、乙兩城距離為a千米，且火車最高速度為每小時100千米）．

Answer 1

分析：先設(shè)火車行駛的速度為x（千米/小時）時，火車從甲城開往乙城的總費用最省．設(shè)出1小時的燃料費P元與速度x（公里/小時）的函數(shù)關(guān)系，代入速度與每小時燃料費的關(guān)系值求出比例系數(shù)即可；最后根據(jù)題設(shè)要求設(shè)出行駛總費用與速度之間的函數(shù)關(guān)系式，再利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)去求函數(shù)的最小值即可．

解答：解：設(shè)火車行駛的速度為x（千米/小時）時，火車從甲城開往乙城的總費用最省．
1小時的燃料費P元與速度v（公里/小時）的函數(shù)關(guān)系可以表示為p=kx³．
又∵40=k•20³，∴k=

1

200

，∴p=

1

200

v³．（v＞0）（3分）
設(shè)從甲地行駛到乙地所需的費用總和為y元，
則y=

a

x

（0.005x³+200）=a（

1

200

x²+

200

x

）．（100≥x＞0）（7分）
∴y′=a（

x

100

-

200

x2

），由y′=0，得x=10

3	20

（公里/小時）．（10分）
又∵當(dāng)x＜10

3	20

時，y′＜0；當(dāng)x＞10

3	20

時，y′＞0．
∴當(dāng)速度為10

3	20

公里/小時時，航行所需的費用總和為最小．（12分）
故答案為：10

3	20

．

點評：本題是實際應(yīng)用題，考查學(xué)生建立函數(shù)模型的能力，以及利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究給定區(qū)間上函數(shù)的最值問題，是高考的常考知識點．