Question

如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，四邊形ACFE為矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF=1．
（1）求證：BC⊥平面ACFE；
（2）若點M在線段EF上移動，試問是否存在點M，使得平面MAB與平面FCB所成的二面角為45°，若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由AB∥CD且AD=DC，得∠DAC=∠DCA=∠CAB，得根據等腰梯形的性質結合題中的數據算出∠CAB=

1

2

∠DAB=30°，得△ABC中∠ACB=90°，從而AC⊥BC．最后根據平面ACEF⊥平面ABCD，結合面面垂直的性質定理即可證出BC⊥平面ACFE；
（2）以C為坐標原點，AC、BC、CF所在直線分別為x軸、y軸、z軸軸，建立空間直角坐標系如圖．結合題中數據得到A、B的坐標，設M（a，0，1）從而得出

AB

、

BM

的坐標，利用垂直向量數量積為0的方法算出

m

=（1，

3

，

3

-a）是平面AMB的一個法向量，結合

n

=(1，0，0)是平面FCB的一個法向量．利用空間向量的夾角公式算出向量

m

、

n

的余弦之值，由平面MAB與平面FCB所成的二面角為45°，建立關于a的方程并得到此方程無實數解．由此可得不存在在點M，使得平面MAB與平面FCB所成的二面角為45°．

解答：解：（1）∵在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC，∴∠DAC=∠DCA=∠CAB，
∵梯形ABCD是等腰梯形，得∠DAB=∠ABC=60°，
∴∠CAB=

1

2

∠DAB=30°，得△ABC中，∠ACB=180°-（∠CAB+∠ABC）=90°，即AC⊥BC，（3分）
又∵平面ACEF⊥平面ABCD，平面ACEF∩平面ABCD=AC，BC?平面平面ABCD，
∴BC⊥平面ACFE；（5分）
（2）由（1）知AC、BC、CF兩兩互相垂直，以C為坐標原點，AC、BC、CF所在直線分別為x軸、y軸、z軸軸，
建立空間直角坐標系如圖，
∵Rt△ABC中，BC=1，∠ABC=60°，∴AC=BCtan60°=

3

，
可得A、B的坐標分別為A（

3

，0，0），B（0，1，0），設M（a，0，1），則

AB

=(-

3

，1，0)，

BM

=(a，-1，1)，（7分）
設

m

=（x，y，z）是平面AMB的一個法向量，則

m • AB =- 3 x+y=0 m • BM =ax-y+z=0

（9分）
取x=1，得

m

=（1，

3

，

3

-a），（10分）
∵

n

=(1，0，0)是平面FCB的一個法向量，
∴若平面MAB與平面FCB所成的二面角為45°，得
cos＜

m

，

n

＞=

1×1+ 3 ×0+( 3 -a)×0

1× 1+3+( 3 -a)2

=

2

2

（12分）
化簡，得2+（

3

-a）²=0，顯然此方程無實數解，（13分）
因此，線段EF上不存在點M使得平面MAB與平面FCB所成的二面角為45°．（14分）

點評：本題給出特殊多面體，求證線面垂直并探索二面角的大小問題．著重考查了線面垂直、面面垂直的判定與性質和利用空間向量研究平面與平面所成角等知識點，屬于中檔題．