Question

已知函數y=f（x）是定義在R上的奇函數，且當x∈（-∞，0）時，f（x）+xf′（x）＜0（其中f′（x）是f（x）的導函數），若a=（3^0.3）•f（3^0.3），b=（log_π3）•f（log_π3），c=（log₃）•f（log₃），則a，b，c的大小關系是（ ）
A．a＞b＞c
B．c＞＞b＞a
C．c＞a＞b
D．a＞c＞b

Answer 1

【答案】分析：構造輔助函數F（x）=xf（x），由導函數判斷出其在（-∞，0）上的單調性，而函數F（x）為實數集上的偶函數，則有在（0，+∞）上的單調性，再分析出，3^0.3，log_π3的大小，即可得到答案．
解答：解：令F（x）=xf（x），則F^′（x）=f（x）-xf^′（x）．
因為f（x）+xf′（x）＜0，
所以函數F（x）在x∈（-∞，0）上為減函數．
因為函數y=x與y=f（x）都是定義在R上的奇函數，
所以函數F（x）為定義在實數上的偶函數．
所以函數F（x）在x∈（0，+∞）上為增函數．
又3^0.3＞3=1，0=log_π1＜log_π3＜log_ππ=1，．
則F（||）＞F（3^0.3）＞F（log_π3）．
所以（log₃）•f（log₃）＞（3^0.3）•f（3^0.3）＞（log_π3）•f（log_π3），
即c＞a＞b．
故選C．
點評：本題考查了導數的運算，考查了函數的單調性與奇偶性，考查了不等式的大小比較，解答此題的關鍵是構造出函數F（x），同時運用了偶函數中有f（x）=f（|x|），此題是中檔題．