Question

已知以F（-2，0），F₂（2，0）為焦點的橢圓與直線x+

3

y+4=0有且僅有一個交點，則橢圓的長軸長為

 

．

Answer 1

分析：先設橢圓方程與直線方程聯立，根據判別式等于0求得m和n的關系式，同時橢圓的焦點坐標求得半焦距得到m和n的另一個關系式，兩個關系式聯立方程即可求得m和n，則橢圓的長軸可得．

解答：解：設橢圓方程為mx²+ny²=1（m≠n＞0），
聯立方程組：

mx 2+ny 2=1  x+ 3 y+4=0

消x得：（3m+n）y²+8

3

my+16m-1=0，
△=192m2-4（16m-1）（3m+n）=0，
整理，得3m+n=16mn即

3

n

+

1

m

=16，
又c=2，由焦點在x軸上，
所以

1

m

-

1

n

=4聯立解得：m=

1

7

，n=

1

3

故長軸長為2

7

；
故答案為2

7

．

點評：本題主要考查了直線與橢圓的關系．常需要把直線方程和橢圓方程聯立，根據直線與橢圓的關系利用判別式或韋達定理來解決問題．