Question

（坐標系與參數方程）在直角坐標系中，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建極坐標系，兩種坐標系取相同的單位長度．已知曲線C：psin²θ=2acosθ（a＞0），過點P（-2，-4）的直線l的參數方程為，直線l與曲線C分別交于M、N．若|PM|、|MN|、|PN|成等比數列，則實數a的值為    ．

Answer 1

【答案】分析：把參數方程化為普通方程，把極坐標方程化為直角坐標方程，聯立方程組利用根與系數的關系求出x₁+x₂=4+2a，x₁•x₂=4．再根據由|PM|、|MN|、|PN|成等比數列可得
 2=|x₁+2|•|x₂+2|，由此求得實數a的值．
解答：解：曲線C：psin²θ=2acosθ（a＞0），即 ρ²sin²θ=2aρcosθ，即 y²=2ax． 直線l的參數方程，即 x-y-2=0．
設M（x₁，x₁-2），N（x₂，x₂-2），則由可得 x²-（4+2a）x+4=0，∴x₁+x₂=4+2a，x₁•x₂=4．
由|PM|、|MN|、|PN|成等比數列，可得|MN|²=|PM||PN|．
∴2=•，化簡可得  2=|x₁+2|•|x₂+2|．
即 -4x₁•x₂=|x₁•x₂+2（x₁+x₂）+4|，∴（4+2a）²-16=|4+2（4+2a）+4|，
解得 a=1，
故答案為 1．
點評：本題主要考查把參數方程化為普通方程的方法，把極坐標方程化為直角坐標方程的方法，直線和拋物線的位置關系的應用，屬于中檔題．