Question

8．已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁棱長為1，動點P在此正方體的表面上運動，且PA=r$（0＜r＜\sqrt{3}）$，記點P的軌跡長度為f（r），則關于r的方程$f（r）=\frac{3π}{2}$的解集為$\{1，\sqrt{2}\}$．

Answer 1

分析 根據條件確定P的軌跡，利用軌跡對應的長度關系即可得到結論．

解答 解：P的軌跡為以A為球心，PA為半徑的球面與正方體的交線．
當0＜r≤1時，f（r）=3×$\frac{1}{4}×2πr$=$\frac{3π}{2}r$，
當r∈（1，$\sqrt{2}$]時，軌跡長度由減小到增加，之后逐漸減小，
由于f（1）=f（$\sqrt{2}$）=$\frac{3π}{2}$，
∴關于r的方程$f（r）=\frac{3π}{2}$的解集為$\{1，\sqrt{2}\}$，
故答案為$\{1，\sqrt{2}\}$．

點評 本題主要考查函數圖象的識別和判斷，解題的關鍵是認識到P的軌跡為以A為球心，PA為半徑的球面與正方體的交線．