Question

已知在數列{a_n}中，a₁=-1，且a_n=3a_n-1-2n+3（n≥2，n∈N₊）．
（Ⅰ）求a₂，a₃，并證明數列{a_n-n}是等比數列；
（Ⅱ）求a₁+a₂+…+a_n的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用a₁=-1，且a_n=3a_n-1-2n+3，代入計算，可得a₂，a₃，又a_n-n=3[a_n-1-（n-1）]，即可得到數列{a_n-n}是以-2為首項，3為公比的等比數列；
（Ⅱ）確定數列{a_n}的通項，再分組求和，即可得到結論．

解答：解：（Ⅰ）∵a₁=-1，且a_n=3a_n-1-2n+3，∴a₂=-3-4+3=-4，a₃=-12-6+3=-15
∵a_n=3a_n-1-2n+3，∴a_n-n=3[a_n-1-（n-1）]
∴數列{a_n-n}是以-2為首項，3為公比的等比數列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a_n-n=（-2）•3^n-1
∴a_n=n-2•3^n-1
∴a₁+a₂+…+a_n=

n(1+n)

2

-3ⁿ+1．

點評：本題考查數列遞推式，考查等比數列的證明，考查數列的通項與求和，確定數列的通項是關鍵．