Question

已知直線l:x-y+3=0及圓C:x²+(y-2)²=4,令圓C在x軸同側(cè)移動且與x軸相切.

（1）圓心C在何處時，圓在直線l上截得的弦最長？

（2）C在何處時，l與y軸的交點(diǎn)把弦分成1∶2？

Answer 1

(1)(-1,2);

解析:(1)由題意知圓心在y=2上移動.?

當(dāng)圓心C在l上時，圓在l上截得的弦為直徑，最長.

∴C(-1,2).?

(2)設(shè)圓方程為(x-a)²+(y-2)²=4,將直線x-y+3=0代入圓方程化簡得2x²+(2-2a)x+a²-3=0.?

設(shè)弦兩端點(diǎn)為M(x₁,y₁)、N(x₂,y₂),l與y軸交點(diǎn)為P（0,3）.?

又由定比分點(diǎn)公式得?

又x₂＞x₁,?

∴Δ=(6-6a)² (2-2a)²-8(a²-3)=(6-6a)²5a²-8a+1=0.?