Question

如圖，M是拋物線上y²=x上的一點，動弦ME、MF分別交x軸于A、B兩點，且MA=MB，
（1）若M為定點，證明：直線EF的斜率為定值；
（2）若M為動點，且∠EMF=90°，求△EMF的重心G的軌跡方程。

Answer 1

解：（1）設M（y，y₀），直線ME的斜率為k(k＞0)，
則直線MF的斜率為-k，
∴直線ME的方程為，
∴由，消x得，
解得，
∴（定值），
所以直線EF的斜率為定值；
（2）當∠EMF=90°時，∠MAB=45°，所以k=1，
∴直線ME的方程為，
有，
同理可得，
設重心G（x， y），
則有，
消去參數y₀得。