Question

已知拋物線x²=4y．
（Ⅰ）過拋物線焦點F，作直線交拋物線于M，N兩點，求|MN|最小值；
（Ⅱ）如圖，P是拋物線上的動點，過P作圓C：x²+（y+1）²=1的切線交直線y=-2于A，B兩點，當PB恰好切拋物線于點P時，求此時△PAB的面積．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設PF的方程代入x²=4y，利用拋物線的定義，結合基本不等式，即可求得|MN|最小值；
（Ⅱ）求出拋物線在點P處切線方程，從而可求圓心C到該切線距離，由對稱性，不妨設，設切線方程，利用直線與圓相切，可得直線的斜率，進而可求|AB|，由此可求△PAB的面積．
解答：解：（Ⅰ）由題意F（0，1）
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），PF的方程為y=kx+1代入x²=4y得x²-4kx-4=0

故當k=0時，|MN|_min=4                              …（5分）
（Ⅱ）設，，∴
∴拋物線在點P處切線：
∴圓心C到該切線距離，∴a²=12
由對稱性，不妨設…（9分）
顯然過P作圓C的兩條切線斜率都存在，設，
∴
因為相切，所以
∴
∴k=或
在中，令y=-2，得x=…（13分）
∴
∴…（15分）
點評：本題考查拋物線中過焦點的弦長計算，考查拋物線的切線，正確運用拋物線的切線是關鍵．