Question

【題目】一個(gè)創(chuàng)業(yè)青年租用一塊邊長為4百米的等邊田地如圖養(yǎng)蜂、產(chǎn)蜜與售蜜,田地內(nèi)擬修建筆直小路MN，AP，其中M，N分別為AC，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在CN上，規(guī)劃在小路MN與AP的交點(diǎn)O(O與M、N不重合處設(shè)立售蜜點(diǎn)，圖中陰影部分為蜂巢區(qū)，空白部分為蜂源植物生長區(qū)，A，N為出入口小路的寬度不計(jì)為節(jié)約資金，小路MO段與OP段建便道，供蜂源植物培育之用，費(fèi)用忽略不計(jì)為車輛安全出入，小路AO段的建造費(fèi)用為每百米5萬元，小路ON段的建造費(fèi)用為每百米4萬元．

（Ⅰ）若擬修的小路AO段長為百米，求小路ON段的建造費(fèi)用；

（Ⅱ）設(shè), 求的值，使得小路AO段與ON段的建造總費(fèi)用最小．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）4萬元；（Ⅱ），小路AO段與ON段的建造總費(fèi)用最小為萬元.

【解析】

（Ⅰ）在中用余弦定理計(jì)算的長度，故可得的長度后即得段的建筑費(fèi)用.

（Ⅱ）在中用正弦定理計(jì)算的長度后得到，令，將其變形為，利用輔助角公式可得，從而得到，驗(yàn)證等號成立后可得何時(shí)取最小值.

（Ⅰ）在中，，

即，

故或（舎去），故，

所以段的建筑費(fèi)用為萬元.

（Ⅱ）由正弦定理得：在中，，

故，

，

設(shè)小路和段的建造總費(fèi)用為，

則，

令，且，，

即.

由，得，故，即或（舍去）.

當(dāng)時(shí)，，故，其中，

故由，符合題意.

答：，小路AO段與ON段的建造總費(fèi)用最小為萬元.