Question

【題目】若 則在內的所有零點之和為：__________．

Answer 1

【答案】

【解析】

函數f（x）是分段函數，要分區間進行討論，當1≤x≤2，f（x）是二次函數，當x＞2時，利用函數的性質求解各區間上零點，最后作和求出．

當時，f（x）＝8x﹣8，

所以，此時當時，g（x）max＝0；

當時，f（x）＝16﹣8x，所以g（x）＝﹣8（x﹣1）2+2＜0；

由此可得1≤x≤2時，g（x）max＝0．

下面考慮2n﹣1≤x≤2n且n≥2時，g（x）的最大值的情況．

當2n﹣1≤x≤32n﹣2時，由函數f（x）的定義知，

因為，

所以，

此時當x＝32n﹣2時，g（x）max＝0；

當32n﹣2≤x≤2n時，同理可知，．

由此可得2n﹣1≤x≤2n且n≥2時，g（x）max＝0．

綜上可得：對于一切的n∈N*，函數g（x）在區間[2n﹣1，2n]上有1個零點，

從而g（x）在區間[1，2n]上有n個零點，且這些零點為，因此，所有這些零點的和為．

故答案為：．