Question

已知中心在原點，焦點在x軸上的一橢圓與圓交于A、B兩點，AB恰是該圓的直徑，且AB斜長為，求此橢圓的方程．

Answer 1

【答案】分析：先根據圓的方程配方得出圓心坐標和直徑，將直線的方程與橢圓的方程組成方程組，消去y得到關于x的方程，再根據根與系數的關系求得AB的中點的橫坐標的表達式，最后根據聯立的方程求出其a，b即可求橢圓的方程．
解答：解：圓（x-2）²+（y-1）²=，直徑AB=
設橢圓：（a＞b＞0），
又設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），弦AB中點（2，1）
∴x₁+x₂=4，y₁+y₂=2，
AB斜率為，∴K_AB=
由
將直線AB的方程y=-x+2，代入橢圓方程得：x²+4y²-4b²=0
∴x₁+x₂=4，x₁x₂=8-2b²，
|AB|=|x₁-x₂|，∴10=（1+）²[4²-4（8-2b²）]
解得：a²=12，b²=3，
故橢圓的方程為：+=1．
點評：本題主要考查了橢圓的標準方程、直線與圓錐曲線的綜合問題．直線與圓錐曲線聯系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現，主要涉及位置關系的判定，弦長問題、最值問題、對稱問題、軌跡問題等．