Question

【題目】已知數列滿足：，其中.

（1）求證：數列是等比數列；

（2）令，求數列的最大項.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）最大項為.

【解析】

試題（1）首先根據已知等式，令，可得，再根據已知等式可得，將兩式相減，即可得到數列的一個遞推公式，只需驗證將此遞推公式變形得到形如的形式，從可證明數列是等比數列；（2）由（1）可得，從而，因此要求數列的最大項，可以通過利用作差法判斷數列的單調性來求得：，

當時，，即；當時，； 當時，，即，因此數列的最大項為.

試題解析：（1）當時，，∴，

又∵，

∴，即，∴.

又∵，∴數列是首項為，公比為的等比數列；

（2）由（1）知，，

∴， ∴，

當時，，即，

當時，，

當時，，即，

∴數列的最大項為，