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求證：a2+b2+c2≥ab+bc+ca.

思路解析：可以考慮綜合法、比較法，也可以考慮構造函數法.

證法一：（綜合法）∵≥ab,≥bc,≥ca,

∴++≥ab+bc+ca,

即a2+b2+c2≥ab+bc+ca.

證法二：（差比法）由a2+b2+c2-ab-bc-ca

=［(a2+b2-2ab)+(b2+c2-2bc)+(c2+a2-2ac)］

=［(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2］≥0,

得a2+b2+c2≥ab+bc+ca.

證法三：（差比法）∵a2+b2+c2-ab-bc-ca=a2-(b+c)a+b2+c2-bc

=(a-)2+(b-c)2≥0,

∴a2+b2+c2≥ab+bc+ca.

證法四：（構造二次函數法）∵a2+b2+c2-ab-bc-ca

=a2-(b+c)a+b2+c2-bc，上式可看作關于a的二次函數，

Δ=(b+c)2-4(b2+c2-bc)=-3(b-c)2≤0,

∴y=a2-(b+c)a+b2+c2-bc≥0.∴a2+b2+c2≥ab+bc+ca.

練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

已知：在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，AB上的中線CD=m，求證：a2+b2=
12
c2+2m2．

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科目：高中數學 來源： 題型：

例2．求證：
a2+b2
+
b2+c2
+
c2+a2
≥
2
(a+b+c)．

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通常用a、b、c分別表示△ABC的三個內角A，B，C所對邊的邊長，R表示△ABC的外接圓半徑．
（1）如圖，在以O為圓心、直徑為8的⊙O中，BC和BA是⊙O的弦，其中BC=4，∠ABC=45°，求弦AB的長；
（2）在△ABC中，若∠C是鈍角，求證：a2+b2＜4R2．

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（一）已知a，b，c∈R+，
①求證：a2+b2+c2≥ab+bc+ac；
②若a+b+c=1，利用①的結論求ab+bc+ac的最大值．
（二）已知a，b，x，y∈R+，
①求證：
x2
a
+
y2
b
≥
(x+y)2
a+b
．
②利用①的結論求
1
2x
+
9
1-2x
(0＜x＜
1
2
)的最小值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知實數a、b、c滿足ab+bc+ca=1，求證：a2+b2+c2≥1．

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同步練習冊答案
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