Question

例2．求證：

a2+b2

+

b2+c2

+

c2+a2

≥

2

(a+b+c)．

Answer 1

分析：不等式的左端是根式，而右端是整式，應設法通過適當的放縮變換將左式各根式的被開方式轉化為完全平方式．

解答：證明：∵a²+b²≥2ab，∴2（a²+b²）≥a²+2ab+b²=（a+b）²，
即a²+b²≥

(a+b)2

2

，兩邊開方，得：

a2+b2

≥

2

2

|a+b|≥

2

2

（a+b），
同理可得

b2+c2

≥

2

2

（b+c），

c2+a2

≥

2

2

（c+a），
三式相加，得：

a2+b2

+

b2+c2

+

c2+a2

≥

2

（a+b+c）．

點評：利用綜合法由因導果證明不等式，就要揭示出條件與結論之間的因果關系，為此要著力分析已知與求證之間的差異與聯系，不等式左右兩端的差異和聯系，在分析所證不等式左右兩端的差異后，合理應用已知條件，進行有效的變換就是證明不等式的關鍵．