Question

（2010•廣東模擬）定義一種運算△：n△m=n•a^m（m，n∈N，a≠0）
（1）若數列{a_n}（n∈N^*）滿足a_n=n△m，當m=2時，求證：數列{a_n}為等差數列；
（2）設數列{c_n}（n∈N^*）的通項滿足c_n=n△（n-1），試求數列{c_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）先求出通項公式，再寫出第n+1項，證明第n+1項與第n項的差是個常數．
（2）寫出c_n的表達式，當a=1時，數列{c_n}是個等差數列易求出它的前n項和，
當a≠1時，用錯位相減法求出它的前n項和．

解答：（1）證明：由題意知當m=2時，a_n=n△m=a²•n，
則有a_n+1=a²•（n+1）   （2分）
故有a_n+1-a_n=a²，（n∈N^*），其中a₁=1△2=a²，（3分）
所以數列{a_n}是以a₁=a²為首項，公差d=a²的等差數列．（4分）

（2）依題意有，c_n=n△（n-1）=n•a^n-1，（n∈N^*），（5分）
所以，當a=1時，Sn=c1+c2++cn=1+2+3++n=

n(n+1)

2

；（7分）
當a≠1時，S_n=1•a⁰+2•a¹++（n-1）•a^n-2+n•a^n-1，（1）
所以aS_n=1•a¹+2•a²++（n-1）•a^n-1+n•aⁿ（2）（8分）
由（2）-（1）得：（1-a）S_n=1•a⁰+1•a¹++1•a^n-2+1•a^n-1-naⁿ（9分）
得：Sn=

1-an

(1-a)2

-

nan(1-a)

(1-a)2

=

nan+1-nan-an+1

(1-a)2

，（n∈N^*）（11分）
綜上所述，Sn=

nan+1-nan-an+1 (1-a)2 ，a≠1 n(n+1) 2 ，a=1

（14分）

點評：本題考查等差數列的通項公式及求和公式，以及用錯位相減法對數列進行求和，體現分類討論的數學思想．