Question

已知f（x）=log_a

1+x

1-x

（a＞0，a≠1），
（1）求f（x）的定義域；
（2）判斷f（x）的奇偶性；
（3）判斷f（x）單調性并用定義證明．

Answer 1

分析：（1）由

1+x

1-x

＞0，求得-1＜x＜1，由此求得函數的定義域．
（2）由于f（-x）=log_a

1-x

1+x

=-log_a

1+x

1-x

=-f（x），可得f（x）為奇函數．
（3）設g（x）=

1+x

1-x

，則f（x）=log_af（x），先由函數的單調性的定義證明g（x）在x∈（-1，1）為遞增函數，再根據復合函數的單調性規律求得f（x）的單調性．

解答：解：（1）∵

1+x

1-x

＞0，∴-1＜x＜1，故定義域為（-1，1）．…（3分）
（2）∵f（-x）=log_a

1-x

1+x

=log_a（

1+x

1-x

_）^-1=-log_a

1+x

1-x

=-f（x），
∴f（x）為奇函數．…（6分）
（3）設g（x）=

1+x

1-x

，則f（x）=log_af（x），取-1＜x₁＜x₂＜1，則
g（x₁）-g（x₂）=

1+x1

1-x1

-

1+x2

1-x2

=

2(x1-x2)

(1-x1)(1-x2)

＜0
∴g（x）在x∈（-1，1）為遞增函數，…（8分）
∴a＞1時，f（x）為遞增函數，0＜a＜1時，f（x）為遞減函數…（10分）

點評：本題主要考查對數函數的圖象、性質的應用，函數的奇偶性、單調性的判斷和證明，屬于中檔題．