Question

已知△ABC中，∠C=90°，D為斜邊AB上靠近頂點A的三等分點．
（I）設

CA

=

a

，

CB

=

b

，求

CD

；
（II）若CA=2

2

，CB=1，求

CD

在

AB

方向上的投影．

Answer 1

分析：（1）由條件可得

CB

-

CA

=3(

CD

-

CA

)，花簡求得

CD

=

2

3

a

+

1

3

b

．
（2）過C作CE⊥AB于E，則由射影定理得AE=

8

3

，故DE=

5

3

．再由

CD

在

AB

方向上的投影為負可得結果．

解答：解：（1）∵

AB

=3

AD

，即

CB

-

CA

=3(

CD

-

CA

)，…（4分）
∴3

CD

=

CB

+2

CA

，又

CA

=

a

，

CB

=

b

，故 

CD

=

2

3

a

+

1

3

b

．…（6分）
（2）過C作CE⊥AB于E，則由射影定理得AE=

8

3

，∴DE=

5

3

．
又因為

CD

在

AB

方向上的投影為負，故

CD

在

AB

方向上的投影為-

5

3

．…（12分）

點評：本題主要考查兩個向量的加減法的法則，以及其幾何意義，三角形中的幾何計算，屬于中檔題．