Question

定義域為[-1，0）∪（0，1]上的奇函數f（x）滿足f（x）=f（x-2），且當x∈（0，1）時，f(x)=

ax

a2x+1

(a＞0且a≠1)．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）求函數f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）求函數f（x）的解析式，即求x∈（-1，0）及x=±1時的表達式，由f（x）的奇偶性及f（x）=f（x-2）即可求得；
（2）因為f（x）為奇函數，所以只需先求出區間（0，1）上的值域即可，注意要對a分情況討論．

解答：解：（1）當x∈（-1，0）時，-x∈（0，1），則f（-x）=

a-x

a-2x+1

=

ax

a2x+1

，
因為f（x）為[-1，0）∪（0，1]上的奇函數，所以f（-x）=-f（x），∴f（x）=-

ax

a2x+1

，
又f（-1）=-f（1），f（-1）=f（1-2）=f（1）∴f（1）=f（-1）=0．
故f（x）=

ax a2x+1 ，x∈(0，1) 0，x=±1 - ax a2x+1 ，x∈(-1，0)

．
（2）①當a＞1時，因為當x∈（0，1）時，a^x∈（1，a），設t=a^x，y=t+

1

t

（t∈（1，a）），則y′=1-

1

t2

＞0，
∴y=t+

1

t

=ax+

1

ax

∈（2，

a2+1

a

），∴

ax

a2x+1

=

1

ax+ 1 ax

∈（

a

a2+1

，

1

2

）．
②當0＜a＜1時，因為當x∈（0，1）時，a^x∈（a，1），設t=a^x，y=t+

1

t

（t∈（a，1）），則y′=1-

1

t2

＜0，
∴y=t+

1

t

=ax+

1

ax

∈（2，

a2+1

a

），∴

ax

a2x+1

=

1

ax+ 1 ax

∈（

a

a2+1

，

1

2

）．
綜合①②，又函數f（x）為[-1，0）∪（0，1]上的奇函數，且f（-1）=f（1）=0，
所以函數f（x）的值域為（-

1

2

，-

a

a2+1

）∪{0}∪（

a

a2+1

，

1

2

）．

點評：本題綜合性強，知識覆蓋面廣，既考查函數的奇偶性、值域，又考查分析問題綜合運用知識解決問題的能力．