Question

定義域?yàn)閇-1，0）∪（0，1]上的奇函數(shù)f（x）滿足f（x）=f（x-2），且當(dāng)x∈（0，1）時(shí)f(x)=

ax

a2x+1

(a＞0且a≠1)．求函數(shù)f（x）的解析式．

Answer 1

分析：令x∈（-1，0），則-x∈（0，1），根據(jù)奇函數(shù)f（x）滿足當(dāng)x∈（0，1）時(shí)f(x)=

ax

a2x+1

(a＞0且a≠1)，可求出此時(shí)函數(shù)的解析式，再由f（x）=f（x-2），求出f（-1）=f（1）=0，可得函數(shù)f（x）的解析式．

解答：解：當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，-x∈（0，1），
∵當(dāng)x∈（0，1）時(shí)f(x)=

ax

a2x+1

(a＞0且a≠1)得．
則  f(-x)=

a-x

a-2x+1

=

ax

a2x+1

，
又f（x）為[-1，0）∪（0，1]上的奇函數(shù)
則f(x)=-

ax

a2x+1

∵f（-1）=-f（1），f（x）=f（x-2）
∴f（1）=f（1-2）=f（-1）=-f（1）
∴f（-1）=f（1）=0則
函數(shù)的解析式為  f(x)=

ax a2x+1 0＜x＜1 0x=±1 - ax a2x+1 -1＜x＜0

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的周期性，函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，熟練掌握函數(shù)奇偶性的定義及周期性的定義是解答的關(guān)鍵．