【題目】已知橢圓:
的離心率為
,以橢圓長、短軸四個端點(diǎn)為頂點(diǎn)為四邊形的面積為
.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)如圖所示,記橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為、
,當(dāng)動點(diǎn)
在定直線
上運(yùn)動時,直線
分別交橢圓于兩點(diǎn)
、
,求四邊形
面積的最大值.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
.
【解析】試題分析:(Ⅰ) 離心率為
,以橢圓長、短軸四個端點(diǎn)為頂點(diǎn)為四邊形的面積為
,結(jié)合
,列方程組求得
的值,即可求出橢圓
的方程;(Ⅱ)點(diǎn)
,直線
的方程
代入橢圓方程
,得
,利用韋達(dá)定理解出
點(diǎn)坐標(biāo),同理可求得
點(diǎn)的坐標(biāo),利用三角形面積公式將四邊形面積表示為
的函數(shù),利用換元法結(jié)合函數(shù)單調(diào)性求解即可.
試題解析:(Ⅰ)由題設(shè)知, ,
又,解得
,
故橢圓的方程為
.
(Ⅱ)由于對稱性,可令點(diǎn),其中
.
將直線的方程
代入橢圓方程
,得
,
由,
得
,則
.
再將直線的方程
代入橢圓方程
,得
,
由,
得
,則
.
故四邊形的面積為
.
由于,且
在
上單調(diào)遞增,故
,
從而,有.
當(dāng)且僅當(dāng),即
,也就是點(diǎn)
的坐標(biāo)為
時,四邊形
的面積取最大值6.
注:本題也可先證明”動直線恒過橢圓的右焦點(diǎn)
”,再將直線
的方程
(這里
)代入橢圓方程
,整理得
,然后給出面積表達(dá)式
,令
,
則,當(dāng)且僅當(dāng)
即
時,
.
年級 | 高中課程 | 年級 | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)
,直線
的參數(shù)方程為
為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),以
軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線
的極坐標(biāo)方程為
.
(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)若直線與曲線
相交于不同的兩點(diǎn)
是線段
的中點(diǎn),當(dāng)
時,求
的值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù),
.
(1)當(dāng)時,求函數(shù)
在點(diǎn)
處的切線方程;
(2)是函數(shù)
的極值點(diǎn),求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間;
(3)在(2)的條件下,,若
,
,使不等式
恒成立,求
的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的極值;
(2)若,
是方程
(
)的兩個不同的實(shí)數(shù)根,求證:
.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線
的參數(shù)方程為
(
為參數(shù)),直線
的參數(shù)方程為
(
為參數(shù),
為直線
的傾斜角).以原點(diǎn)為極點(diǎn),
軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,并在兩個坐標(biāo)系下取相同的長度單位.
(1)當(dāng)時,求直線
的極坐標(biāo)方程;
(2)若曲線和直線
交于
,
兩點(diǎn),且
,求直線
的傾斜角.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知集合,若對于任意
,存在
,使得
成立,則稱集合
是“
集合”.給出下列5個集合:
①;②
;③
;
④;⑤
.
其中是“集合”的所有序號是( )
A.②③B.①④⑤C.②③⑤D.①②④
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為準(zhǔn)確把握市場規(guī)律,某公司對其所屬商品售價進(jìn)行市場調(diào)查和模型分析,發(fā)現(xiàn)該商品一年內(nèi)每件的售價按月近似呈的模型波動(
為月份),已知3月份每件售價達(dá)到最高90元,直到7月份每件售價變?yōu)樽畹?/span>50元.則根據(jù)模型可知在10月份每件售價約為_____.(結(jié)果保留整數(shù))
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
.
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若是函數(shù)
的兩個不同的零點(diǎn),求證:
.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系,將曲線上的每一個點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變,縱坐標(biāo)縮短為原來的
,得到曲線
,以坐標(biāo)原點(diǎn)
為極點(diǎn),
軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,
的極坐標(biāo)方程為
.
(Ⅰ)求曲線的參數(shù)方程;
(Ⅱ)過原點(diǎn)且關(guān)于
軸對稱的兩條直線
與
分別交曲線
于
、
和
、
,且點(diǎn)
在第一象限,當(dāng)四邊形
的周長最大時,求直線
的普通方程.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com