Question

已知函數f(x)=sinx+

3

cosx， x∈R．
（1）求函數f（x）的最小正周期；
（2）若f(α-

π

3

)=

6

5

，α∈(0，

π

2

)，求f(2α-

π

3

)的值．

Answer 1

分析：（1）利用兩角和的正弦公式及周期即可得出；
（2）利用（1）及已知可得sinα，進而得到cosα，于是可得f(2α-

π

3

)．

解答：解：（1）f(x)=sinx+

3

cosx=2(

1

2

sinx+

3

2

cosx)=2sin(x+

π

3

)．
所以函數f（x）的最小正周期是2π．
（2）由（1）得，f(x)=2sin(x+

π

3

)．
因為f(α-

π

3

)=

6

5

，所以f(α-

π

3

)=2sin(α-

π

3

+

π

3

)=2sinα=

6

5

．
即sinα=

3

5

．    
因為α∈(0，

π

2

)，所以cosα=

1-sin2α

=

4

5

．
所以f(2α-

π

3

)=2sin(2α-

π

3

+

π

3

)=2sin2α
=4sinαcosα
=4×

3

5

×

4

5

=

48

25

．

點評：本小題主要考查周期的概念，考查三角恒等變換的運算以及化歸與轉化的數學思想．