Question

在△ABC中，a，b，c分別是A，B，C的對邊，sinA=

4

5

，A∈(

π

2

，π)，a=

41

，S_△ABC=4．
（Ⅰ）求cos(A-

π

4

)的值；
（Ⅱ）求b+c的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由A的范圍以及sinA的值，利用同角三角函數間的基本關系求出cosA的值，原式利用兩角和與差的余弦函數公式化簡，將各自的值代入計算即可求出值；
（Ⅱ）利用三角形面積公式列出關系式，將已知面積及sinA代入求出bc的值，再利用余弦定理列出關系式，變形后將a，cosA，bc的值代入求出b+c的值即可．

解答：解：（Ⅰ）∵A∈（

π

2

，π），sinA=

4

5

，
∴cosA=-

1-sin2A

=-

3

5

，
∴cos（A-

π

4

）=

2

2

（cosA+sinA）=

2

10

；
（Ⅱ）∵S_△ABC=4，sinA=

2

10

，
∴

1

2

bcsinA=4，即bc=10，
∵a²=b²+c²-2bccosA，a=

41

，
∴b²+c²=29，
∴（b+c）²-2bc=29，
即（b+c）²=49，
開方得：b+c=7．

點評：此題考查了余弦定理，同角三角函數的基本關系，以及三角形面積公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．