Question

已知遞增等差數列{a_n}滿足：a₁=1，且a₁，a₂，a₄成等比數列．
（1）求數列{a_n}的通項公式a_n；
（2）若不等式（1-）•（1-）…（1-）≤對任意n∈N⁺，試猜想出實數m小值，并證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）設數列{a_n}公差為d（d＞0），由a₁，a₂，a₄成等比數列可求得d，從而可求得數列{a_n}的通項公式a_n；
（2）由（1）得a_n=n，可將原不等式轉化為••…≤，利用n=1與n=2即可猜想m的最小值為，利用數學歸納法證明即可．
解答：解：（1）設數列{a_n}公差為d（d＞0），
由題意可知a₁•a₄=，即1（1+3d）=（1+d）²，
解得d=1或d=0（舍去）．
所以，a_n=1+（n-1）•1=n．
（2）不等式等價于••…≤，
當n=1時，m≥；當n=2時，m≥；
而＞，所以猜想，m的最小值為．
下證不等式••…≤對任意n∈N^*恒成立．
下面用數學歸納法證明．
證明：1°當n=1時，≤=，成立．
2°假設當n=k時，不等式，••…≤成立，
當n=k+1時，••…•≤•，
只要證•≤，
只要證≤，
只要證-≤2k+2，
只要證4k²+8k+3≤4k²+8k+4，
只要證3≤4，顯然成立．
所以，對任意n∈N^*，不等式••…≤恒成立．
點評：本題考查數學歸納法，考查等差數列的通項公式，考查猜想與推理證明的能力，猜想出m的值是關鍵，也是難點，屬于難題．