Question

對于定義在D上的函數y=f（x），若同時滿足：①f（x）在D內單調；②存在區間[a，b]⊆D，使f（x）在區間[a，b]上值域為[a，b]，則函數y=f（x）（x∈D）稱為閉函數．按照上述定義，若函數y=

2

x

為閉函數，則符合條件②的區間[a，b]可以是

[1，2]或[-2，-1]等等（答案不唯一）

．

Answer 1

分析：由已知條件中“閉函數”的定義，說明函數y=

2

x

在區間[a，b]的值域是[a，b]，因為函數在（-∞，0）和（0，∞+）均為減函數所以分a、b都小于0和a、b都大于0兩種情況討論，通過解方程組，即可得到符合條件②的區間[a，b]．

解答：解：∵函數y=

2

x

在（-∞，0）和（0，∞+）均為減函數，在[a，b]的值域是[a，b]，
∴當[a，b]⊆（0，+∞）時，可得

f(a)= 2 a =b f(b)= 2 a =b

，說明只要滿足ab=2，且a＜b的正數a、b都能符合題意
同理可得，當[a，b]⊆（-∞，0）時，滿足ab=2，且a＜b的負數數a、b也能符合題意．
所以任意滿足ab=2，且a＜b的實數都能符合題意．
故答案為：[1，2]或[-2，-1]等等（答案不唯一）

點評：本題考查的知識點是函數單調性和函數的值域，屬于基礎題．根據新定義構造出滿足條件的方程（組）或不等式（組）將新定義轉化為熟悉的數學模型是解答本題的關鍵．