Question

對任意實數a，b，c，下列命題：（1）“a=b”是“ac=bc”的充分條件；（2）“a+1是無理數”是“a是無理數”的必要條件；（3）“a＜5”是“a＜3”的必要條件．其中真命題的個數是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．0

Answer 1

分析：“a=b”⇒“ac=bc”為真命題，故（1）為真命題；“a+1是無理數”⇒“a是無理數”為真命題，
“a是無理數”⇒“a+1是無理數”也為真命題，故（2）為真命題；“a＜5”⇒“a＜3”為假命題，
“a＜3”⇒“a＜5”為真命題，故（3）為真命題．

解答：解：∵（1）中“a=b”⇒“ac=bc”為真命題，
但當c=0時，“ac=bc”⇒“a=b”為假命題，
故“a=b”是“ac=bc”的充分不必要條件，故（1）為真命題；
∵（2）中“a+1是無理數”⇒“a是無理數”為真命題，
“a是無理數”⇒“a+1是無理數”也為真命題，
故“a+1是無理數”是“a是無理數”的充要條件，故（2）為真命題；
∵（3）中“a＜5”⇒“a＜3”為假命題，
“a＜3”⇒“a＜5”為真命題，
故“a＜5”是“a＜3”的必要條件，故（3）為真命題．
故選C．

點評：判斷充要條件的方法是：①若p⇒q為真命題且q⇒p為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；②若p⇒q為假命題且q⇒p為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；③若p⇒q為真命題且q⇒p為真命題，則命題p是命題q的充要條件；④若p⇒q為假命題且q⇒p為假命題，則命題p是命題q的即不充分也不必要條件．⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，判斷命題p與命題q的關系．