Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為，．過焦點且垂直于軸的直線與橢圓相交所得的弦長為3，直線與橢圓相切．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設過點的直線與橢圓相交于，兩點，若，問直線是否存在？若存在，求直線的斜率的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）直線存在，且直線的斜率的取值范圍是．

【解析】

（1）由題意，，解方程組即可；

（2）分直線垂直于軸和直線不垂直于軸兩種情況討論，當直線垂直于軸時，易得，，，不符合題意；當直線不垂直于軸時，設，，直線方程為，聯立橢圓方程得到根與系數的關系，代入的坐標表示中，即可得到關于的不等式，解不等式即可.

（1）設橢圓的半焦距為．

在中，令，得，解得．

由垂徑長（即過焦點且垂直于實軸的直線與橢圓相交所得的弦長）為3，

得，

所以．①

因為直線與橢圓相切，則．②

將②代入①，得．

故橢圓的標準方程為．

（2）設點，．

易知點，當直線的斜率存在時，設為，則直線的方程為．

聯立，得，

則恒成立．

所以，，

．

因為，

所以，即．

即，

得，得，

即，解得．

當直線的斜率不存在時，點，，，，

此時，，不符合題意，故舍去．

綜上，直線存在，且直線的斜率的取值范圍是．