Question

(本題滿分14分)

設函數

⑴當且函數在其定義域上為增函數時，求的取值范圍；

⑵若函數在處取得極值，試用表示；

⑶在⑵的條件下，討論函數的單調性。

 

Answer 1

【答案】

（1）。（2） ；

（3）當時，的單調遞減區間為，單調遞增區間為；

當時，的單調遞減區間為，單調遞增區間為；

當時，的單調遞減區間為，單調遞增區間為。

【解析】本試題主要是考查了導數在研究函數單調性中的運用。

⑴因為當且函數在其定義域上為增函數時，則可知導函數恒大于等于零，得到的取值范圍；

⑵若函數在處取得極值，則求解導數可知導函數在該點的到數值為零。

⑶在⑵的條件下，，然后對于參數a分情況得到函數的單調性。

解：（1）當時，函數，其定義域為。

。函數是增函數，

當時，恒成立。   ……………………………………2分

即當時，恒成立。

當時，，且當時取等號。

的取值范圍為。………………………………………………………………4分

（2）,且函數在處取得極值，

此時 ………………………………………………6分

當，即時，恒成立，此時不是極值點。

  ………………………………………………………………………8分

（3）由得

①當時，當時，

當時，

當時，的單調遞減區間為，單調遞增區間為。……………………10分

②當時，當

當

當時，的單調遞減區間為，單調遞增區間為。

③當時，當

當                

當時，的單調遞減區間為，單調遞增區間為。

……………………………………………………13分

綜上所述：當時，的單調遞減區間為，單調遞增區間為；

當時，的單調遞減區間為，單調遞增區間為；

當時，的單調遞減區間為，單調遞增區間為。

………………………………………………………………14分