Question

已知：函數f(x)=

ex

x-a

（其中常數a＜0）．
（Ⅰ）求函數f（x）的定義域及單調區間；
（Ⅱ）若存在實數x∈（a，0]，使得不等式f(x)≤

1

2

成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）分式函數使分母不為零即{x|x≠a}，先求導數fˊ（x），然后在函數的定義域內解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0；確定出單調區間．
（2）轉化成f(x)=

ex

x-a

在（a，0]上的最小值小于等于

1

2

，利用導數求出函數f(x)=

ex

x-a

在（a，0]上的最小值，注意討論．

解答：解：（Ⅰ）函數f（x）的定義域為{x|x≠a}．（1分）
f′(x)=

ex(x-a)-ex•1

(x-a)2

=

ex[x-(a+1)]

(x-a)2

．（3分）
由f'（x）＞0，解得x＞a+1．
由f'（x）＜0，解得x＜a+1且x≠a．
∴f（x）的單調遞增區間為（a+1，+∞），
單調遞減區間為（-∞，a），（a，a+1）；（6分）

（Ⅱ）由題意可知，a＜0，且f(x)=

ex

x-a

在（a，0]上的最小值小于等于

1

2

時，
存在實數x∈（a，0]，使得不等式f(x)≤

1

2

成立．（7分）
若a+1＜0即a＜-1時，

∴f（x）在（a，0]上的最小值為f（a+1）=e^a+1．
則ea+1≤

1

2

，得a≤ln

1

2

-1．（10分）
若a+1≥0即a≥-1時，f（x）在（a，0]上單調遞減，
則f（x）在（a，0]上的最小值為f(0)=-

1

a

．
由-

1

a

≤

1

2

得a≤-2（舍）．（12分）
綜上所述，a≤ln

1

2

-1．則a的取值范圍是（-∞，ln

1

2

-1]

點評：本題考查了函數的定義域、單調性以及利用導數求解恒成立問題，是高考中的熱點問題．