Question

已知函數．
（1）曲線C：y=f（x）經過點P（1，2），且曲線C在點P處的切線平行于直線y=2x+1，求a，b的值；
（2）在（1）的條件下試求函數的極小值；
（3）若f（x）在區間（1，2）內存在兩個極值點，求證：0＜a+b＜2．

Answer 1

（1）解：對函數求導可得，f′（x）=x²+2ax+b，
由題設知：解得（4分）
（2）解：由（1）知，g′（x）=mx（x-），
當m＞0時，g（x）在（-∞，0），（，+∞）上遞增，在（0，）上遞減，
所以g（x）的極小值為g（）=-m；
當m＜0時，g（x）在（-∞，0），（，+∞）上遞減，在（0，）上遞增，
所以g（x）的極小值為g（0）=0；（8分）
（3）證明：因為f（x）在區間（1，2）內存在兩個極值點，所以f′（x）=0，即x²+2ax+b=0在（1，2）內有兩個不等的實根．
∴（11分）
由 （1）+（3）得a+b＞0，由（4）得a+b＜a²+a，
∴-2＜a＜-1，又，
∴a+b＜2．
故a+b的取值范圍是（0，2）（14分）
分析：（1）曲線在P（1，2）處的切線與y=2x+1平行等價于函數在該點的導數為2，f（1）=2，代入可求a，b
（2）由（1）知，g′（x）=mx（x-），分類討論：分m＞0時，m＜0時兩種情況討論，g（x）的單調性，進而可求g（x）的極小值
（3）由題意可得f′（x）=0即x²+2ax+b=0在（1，2）內有兩個不等的實根，根據二次方程的實根分布可求
點評：本題考查函數的極值與導數之間的關系，考查函數有極值的條件，考查學生的轉化與化歸思想．