Question

已知函數．
（1）曲線在x=1處的切線與直線3x-y=1平行，求a的值．
（2）求f（x）的單調區間．

Answer 1

解：由函數f（x），求導得：f′（x）=a²x²-2ax，
（1）∵切線與直線3x-y=1平行，直線3x-y=1的斜率為3，
∴f′（1）=3，即a²-2a-3=0，分解因式得：（a-3）（a+1）=0，
解得：a=3或a=-1；
（2）f′（x）=a²x²-2ax=a²x（x-）
①當a＞0時，x∈（-∞，0），得到f′（x）＞0；0＜x＜，f′（x）＜0；x＞，f′（x）＞0；
②a＜0時，x∈（-∞，），f′（x）＞0，＜x＜0，f′（x）＜0，x＞0，f′（x）＞0；
③a=0，f（x）無單調性，
綜上，當a=0時，f（x）無單調性；
當a＞0時，f（x）在（-∞，0）單調增，在（0，）單調減，在（，+∞）單調增；
當a＜0時，f（x）在（-∞，-）單調增，在（-，0）單調減，在（0，+∞）單調增．
分析：先由f（x）的解析式，求出f（x）的導函數，
（1）根據兩直線平行時斜率相等，由直線3x-y=1的斜率得到切線的斜率，即把x=1代入導函數求出的導函數值等于求出的斜率，列出關于a的方程，求出方程的解即可得到a的值；
（2）把f（x）的導函數變形后，求出導函數值為0時x的值，分a大于0，a小于0和a=0三種情況，由x的值分別討論導函數得值大于0，求出x的范圍即為函數的單調增區間；當導函數的值小于0求出x的范圍即為函數的遞減區間．
點評：此題考查了利用導數研究曲線上某點的切線方程，以及利用導數研究函數的單調性．要求學生掌握導函數在切點橫坐標對應的函數值為切線方程的斜率．導函數值大于0函數單調遞增，導函數值小于0函數單調遞減，利用這個性質可求出函數的單調區間．