Question

記實數x₁，x₂，…，x_n中的最大數為max{x₁，x₂，…，x_n}，最小數為min{x₁，x₂，…，x_n}．設△ABC的三邊邊長分別為a，b，c，且a≤b≤c，定義△ABC的傾斜度為，．
（�。┤簟鰽BC為等腰三角形，則t=________；
（ⅱ）設a=1，則t的取值范圍是________．

Answer 1

1    
分析：（i）分三種a=b=c、a=b＜c和a＜b=c三種情況加以討論，分別求出max{}和min{}的值，即可算出總有實數t=1成立，得到本題答案；
（ii）根據題意，可得max{}=c且min{}=，因此對c＜b²和c≥b²兩種情況加以討論，利用三角形兩邊之和大于第三邊和不等式的性質進行推導，聯解不等式組可得t的取值范圍是[1，）．
解答：（i）若a=b=c，則max{}=min{}=1
∴t=max{}•min{}=1；
若a=b＜c，則max{}=，min{}=
∴t=max{}•min{}=•==1；
若a＜b=c，則max{}=，min{}=
∴t=max{}•min{}=•==1
綜上所述，可得若△ABC為等腰三角形，則t=1；
（ii）∵a=1，a≤b≤c，
∴max{}=max{，，c}=c
而min{}=min{，，c}=
①當c＜b²時，t=c•=，可得c=tb，（t≥1）
∵由1+b＞c，得1+b＞tb，∴t≠1時，b＜
∵c=tb＜b²，∴t＜b，可得t＜，解之得1＜t＜
而t=1時，b=c＞a=1，符合題意．所以此時t的范圍為[1，）
②當c≥b²時，t=c•=b，可得
∵1+b＞c且c≥b²，
∴1+b＞b²，解之得1≤b＜
即1≤t＜，得此時t的范圍為[1，）
綜上所述，可得當a=1時，t的取值范圍是[1，）．
故答案為：1，[1，）
點評：本題給出三角形三邊中任意兩邊的比值，求它們的最大值與最小值之積的取值范圍，著重考查了函數最值的意義、三角形兩邊之和大于第三邊、不等式的基本性質和不等式的解法等知識，屬于中檔題．