Question

已知與曲線C：x²+y²-2x-2y+1=0相切的直線l交x軸、y軸的正半軸分別于A、B兩點，O為原點.|OA|=a,|OB|=b,a＞2,b＞2.

（1）求證：(a-2)(b-2)=2;

（2）求線段AB中點的軌跡方程；

（3）求△AOB面積的最小值，并求此時的直線方程.

Answer 1

(1)略;(2)(x-1)(y-1)=(x＞1,y＞1);?

(3)(S_△AOM)_min=3+2,y=-x+2+.?

解析:（1）證明：C:(x-1)²+(y-1)²=1.?

如圖，設三個切點分別為M、N、P，則|AM|+|BN|=|AP|+|BP|=|AB|，即(a-1)+(b-1)=,化簡即得(a-2)(b-2)=2.?

（2）設AB中點Q(x,y),?

又(a-2)(b-2)=2,

∴(x-1)(y-1)=(x＞1,y＞1).?

(3)2=(a-2)(b-2)=ab-2(a+b)+4≤ab-4+4.?

令=t＞0,則t²-4t+2≥0

當且僅當a=b時，取“＝”.