Question

已知數列{a_n}中a_n=n+1，又數列{b_n}滿足：nb1+(n-1)b2+…+2bn-1+bn=(

9

10

)n-1+(

9

10

)n-2+…+

9

10

+1．
（1）求b_n的表達式；
（2）若c_n=-a_n•b_n，試問數列{c_n}中，是否存在正整數k，使得對于任意的正整數n都c_n≤c_k成立？證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）由數列{b_n}滿足的條件nb1+(n-1)b2+…+bn=(

9

10

)n-1+(

9

10

)n-2+…+(

9

10

)+1=10[1-(

9

10

)n]，再寫一式，兩式相減可求；
（2）設存在自然數k，使對n∈N，c_n≤c_k恒成立，易得當n＜8時，c_n+1＞c_n，當n=8時，c_n+1=c_n，當n＞8時，c_n+1＜c_n故得解．

解答：解：（1）由 nb1+(n-1)b2+…+2bn-1+bn=(

9

10

)n-1+(

9

10

)n-2+…+

9

10

+1，
得，（n-1）b₁+（n-2）b₂+…+b_n-1=(

9

10

)n-2+…+

9

10

+1兩式相減，
得 b1+b2+…+bn=(

9

10

)n-1=Sn
∴當n=1時，b₁=S₁=1
當n≥2時，bn=Sn-Sn-1=-

1

10

(

9

10

)n-2
即bn=

1… …當n=1時 - 1 10 ( 9 10 )n-2…當n≥2時

（2）由（1）得 cn=-anbn=

-2… …當n=1時 n+1 10 ( 9 10 )n-2…當n≥2時

設存在自然數k，使對n∈N，c_n≤c_k恒成立
當n=1時，c2-c1=

23

10

＞0⇒c2＞c1
當n≥2時，cn+1-cn=(

9

10

)n-2•

8-n

100

，
∴當n＜8時，c_n+1＞c_n
當n=8時，c_n+1=c_n，當n＞8時，c_n+1＜c_n
所以存在正整數k=8或9，使對任意正整數n，均有c₁＜c₂＜…＜c₈=c₉＞c₁₀＞c₁₁＞…，
從而存在正整數k8或9，使得對于任意的正整數n都c_n≤c_k成立

點評：本題考查數列的性質及其應用，難度較大，解題時要認真審題，仔細解答．