Question

【題目】如圖，在三棱錐A﹣BCD中，已知△ABD，△BCD都是邊長為2的等邊三角形，E為BD中點，且AE⊥平面BCD，F為線段AB上一動點，記 ．

（1）當 時，求異面直線DF與BC所成角的余弦值；
（2）當CF與平面ACD所成角的正弦值為 時，求λ的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：連結CE，以EB、EC、EA分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，

則A（0，0， ），B（1，0，0），C（0， ，0），D（﹣1，0，0），

∵F是線段AB上一動點，且 =λ，

則 = =（﹣ ），∴F（1﹣λ，0， ），

當 時，F（ ）， =（ ）， =（1，﹣ ，0），

∴cos＜ ， ＞= = ，

∴異面直線DF與BC所成角的余弦值為 ．

（2） =（1﹣ ）， =（1，0， ）， =（1， ，0），

設平面ACD的法向量 =（x，y，z），

則 ，取x= ，得 =（ ），

∵CF與平面ACD所成角的正弦值為 ，

∴|cos＜ ＞|= = ，

解得 或λ=2（舍），

∴λ=2．

【解析】（1）根據題意建立空間直角坐標系，用坐標表示直線DF與BC的方向向量，再求得兩異面直線的夾角；（2）CF與平面ACD所成角的正弦值等于CF與平面ACD法向量所成角的余弦值.
【考點精析】利用異面直線及其所成的角和空間角的異面直線所成的角對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知異面直線所成角的求法：1、平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點，作另一條的平行線；2、補形法：把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，其目的在于容易發現兩條異面直線間的關系；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．