Question

（2011•武昌區模擬）圓柱型金屬飲料罐的容積V一定時，它的高h與底面半徑R具有怎樣的關系時，才能使所用材料最省？

Answer 1

分析：由題意求出飲料罐的表面積，求出體積，推出表面積與圓柱底面半徑的關系式，通過不等式求出面積的最小值．

解答：（本小題滿分12分）
解：如圖，飲料罐的表面積S=2πRh+2πR²．…（2分）
由V=πR²h，得h=

V

πR2

，則
S=2πR•

V

πR2

+2πR2=

2V

R

+2πR2．（R＞0）…（4分）
所以S=

V

R

+

V

R

+2πR2≥3

3	V R • V R •2πR2

=3

3	2πV2

，
當且僅當

V

R

=2πR2，即R=

3	V 2π

時，S取得最小值．…（10分）
把R=

3	V 2π

代入h=

V

πR2

，得h=2

3	V 2π

，即h=2R．…（11分）
答：當飲料罐的高與底面的直徑相等時，所用材料最省． …（12分）

點評：本題是中檔題，考查圓柱的表面積與體積的關系，不等式的應用，考查計算能力．