Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若，求證：當(dāng)時(shí)，.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析

【解析】分析：（1）依題意，的定義域?yàn)?/span>，，分類討論可求的單調(diào)性；

（2）當(dāng)時(shí)，要證明，即證明，

只需證明.

設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)研究其性質(zhì)，

即可證明

詳解：

（1）依題意，的定義域?yàn)?/span>，，

（1）當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減；

（2）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；

所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；

（3）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；

所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；

綜上，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.

（2）當(dāng)時(shí)，要證明，

即證明，

因?yàn)?/span>，所以只需證明，

只需證明.

設(shè)，

則，

設(shè)，則，

所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；

所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；

所以，

所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；

所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；

所以，

所以當(dāng)時(shí)，.