Question

【題目】數列{an}的前項和為Sn ， 且 ，用[x]表示不超過x的最大整數，如[﹣0.1]=﹣1，[1.6]=1，設bn=[an]，則數列{bn}的前2n項和b1+b2+b3+b4++b2n﹣1+b2n= ．

Answer 1

【答案】 ﹣n﹣
【解析】解：由 ，①

可得a2﹣S1= ，a2=a1+ = ，

將n換為n﹣1，可得an﹣Sn﹣1= ，n≥2②

由an=Sn﹣Sn﹣1，

①﹣②可得，an+1=2an，

則an=a22n﹣2= 2n﹣2= 2n，

上式對n=1也成立．

則an= 2n，

bn=[an]=[ 2n]，

當n=1時，b1+b2=0+1=1= ﹣1﹣ ；

當n=2時，b1+b2+b3+b4=0+1+2+5=8= ﹣2﹣ ；

當n=3時，b1+b2+b3+b4+b5+b6=0+1+2+5+10+21=39= ﹣3﹣ ；

當n=4時，b1+b2+b3+b4+b5+b6+b7+b8=0+1+2+5+10+21+42+85=166= ﹣4﹣ ；

則數列{bn}的前2n項和為b1+b2+b3+b4++b2n﹣1+b2n

= ﹣n﹣ ．

另解：設T2n=b1+b2+b3+b4++b2n﹣1+b2n，

由T2n﹣T2n﹣2=22n﹣1﹣1，

累加可得數列{bn}的前2n項和為 ﹣n= ﹣n﹣ ．

所以答案是： ﹣n﹣ ．

【考點精析】本題主要考查了數列的前n項和的相關知識點，需要掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系才能正確解答此題．