Question

18．在平面直角坐標系xOy中，已知曲線C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，以平面直角坐標系xOy的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，取相同的單位長度建立極坐標系，已知直線l：ρ（cosθ-2sinθ）=6．
（Ⅰ）寫出直線l的直角坐標方程和曲線C的參數方程；
（Ⅱ）在曲線C上求一點P，使點P到直線l的距離最大，并求出此最大值．

Answer 1

分析 （I）直線l：ρ（cosθ-2sinθ）=6，由互化公式可得直角坐標方程．由曲線C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，利用平方關系可得可得C的參數方程．
（II）設點P$（2cosθ，\sqrt{3}sinθ）$，θ∈[0，π）．則點P到直線l的距離d=$\frac{|2cosθ-2\sqrt{3}sinθ-6|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|4cos（θ+\frac{π}{3}）-6|}{\sqrt{5}}$，利用余弦函數的單調性即可得出．

解答 解：（I）直線l：ρ（cosθ-2sinθ）=6，由互化公式可得直角坐標方程：x-2y-6=0．
由曲線C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，可得C的參數方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數）．
（II）設點P$（2cosθ，\sqrt{3}sinθ）$，θ∈[0，π）．則點P到直線l的距離d=$\frac{|2cosθ-2\sqrt{3}sinθ-6|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|4cos（θ+\frac{π}{3}）-6|}{\sqrt{5}}$≤$\frac{|-4-6|}{\sqrt{5}}$=2$\sqrt{5}$，當且僅當$cos（θ+\frac{π}{3}）$=-1時取等號．此時點P$（-1，\frac{3}{2}）$，d_max=2$\sqrt{5}$．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其參數方程、極坐標方程化為直角坐標方程、點到直線的距離公式、余弦函數的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．