Question

已知

m

=(2sinx，2cosx)，

n

=(

3

cosx，cosx)，f(x)=

m

•

n

-1
（1）求函數y=f（x）的最小正周期和單調遞增區間；
（2）將函數y=f（x）的圖象上各點的縱坐標保持不變，橫坐標先縮短到原來的

1

3

，把所得到的圖象再向右平移

π

12

單位，得到函數y=g（x）的圖象，求函數y=g（x）在區間[0，

π

12

]上的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用兩個向量的數量積公式，三角函數的恒等變換及化簡求值化簡函數f（x）的解析式為2sin(2x+

π

6

)，由此求出它的最小正周期，由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z 求得x的范圍，即可求出單調增區間
（2）根據函數y=Asin（ωx+∅）的圖象變換規律求出g（x）的解析式，再根據正弦函數的定義域和值域求出g（x）的最大值．

解答：解：（1）∵f(x)=2

3

sinx•cosx+2cos2x-1=

3

sin2x+cos2x=2sin(2x+

π

6

)，…（3分）
∴函數f（x）的最小正周期為T=π．…（4分）
又由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，可得 kπ-

π

3

≤k≤kπ+

π

6

 ，k∈Z，
∴f（x）的單調遞增區間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z．…（6分）
（2）根據條件得g(x)=2sin[6(x-

π

12

)+

π

6

]=2sin(6x-

π

3

)，…（9分）
當x∈[0，

π

12

]時，6x-

π

3

∈[-

π

3

，

π

6

]，-

3

2

≤sin(6x-

π

3

)≤

1

2

，…（11分）
所以當x=

π

12

時，g（x）_max=1．…（13分）

點評：本題主要考查兩個向量的數量積公式，三角函數的恒等變換及化簡求值，三角函數的周期性和求法，正弦函數的單調性、定義域和值域，函數y=Asin（ωx+∅）的圖象變換規律，屬于中檔題．