Question

已知m=(

3

2

cosx，1+cosx)，n=(2sinx，1-cosx)，x∈R，函數f（x）=

m

•

n

．
（I）求f（

π

3

）的值；   
（II）求函數f（x）的單調增區間；
（Ⅲ）求f（x）在區間[0，

5π

12

]上的最值．

Answer 1

分析：（I）根據向量數量積的坐標公式，結合三角函數的降次公式和輔助角公式，得f（x）=

m

•

n

=

3

2

sin2x+

1-cos2x

2

=sin（2x-

π

6

）+

1

2

，代入x=

π

3

即可得到f（

π

3

）的值；
（II）根據函數y=sinx的單調區間的公式，令-

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

π

2

+2kπ，解得-

π

6

+kπ≤x≤

π

3

+kπ，可得函數f（x）的單調增區間；
（III）根據x∈[0，

5π

12

]，可以計算出2x-

π

6

∈[-

π

6

，

2π

3

]，再結合正弦函數的圖象可得0≤sin（2x-

π

6

）+

1

2

≤

3

2

，由此可得f（x）在區間[0，

5π

12

]上的最值小值和最大值．

解答：解：（I）根據題意，得f（x）=

m

•

n

=

3

2

cosx•2sinx+（1+cosx）（1-cosx）
=

3

2

sin2x+1-cos²x=

3

2

sin2x+

1-cos2x

2

=sin（2x-

π

6

）+

1

2

∴f（

π

3

）=sin（

2π

3

-

π

6

）+

1

2

=1+

1

2

=

3

2

（II）令-

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

π

2

+2kπ，（其中k是整數）
可得-

π

6

+kπ≤x≤

π

3

+kπ
∴函數f（x）的單調增區間為（-

π

6

+kπ，

π

3

+kπ）．（k∈Z）
（III）∵x∈[0，

5π

12

]
∴2x-

π

6

∈[-

π

6

，

2π

3

]，可得-

1

2

≤sin（2x-

π

6

）≤1
因此0≤sin（2x-

π

6

）+

1

2

≤

3

2

，f（x）在區間[0，

5π

12

]上的最值小值為0，最大值為

3

2

點評：本題以向量的數量積為載體，要求對三角函數式進行化簡，并求函數的值域與最值，著重考查了三角函數中的恒等變換應用和三角函數的圖象與性質的知識點，屬于中檔題．