Question

設函數f（x）=log_a（x-3a）（a＞0，且a≠1），當點P（x，y）是函數y=f（x）圖象上的點時，點Q（x-2a，-y）是函數y=g（x）圖象上的點．
（1）寫出函數y=g（x）的解析式；
（2）若當x∈[a+2，a+3]時，恒有|f（x）-g（x）|≤1，試確定a的取值范圍；
（3）把y=g（x）的圖象向左平移a個單位得到y=h（x）的圖象，函數F（x）=2a^1-h（x）-a^2-2h（x）+a^-h（x），（a＞0，且a≠1）在的最大值為，求a的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設點Q的坐標為（x'，y'），利用x'=x-2a，y'=-y，轉化x=x'+2a，y=-y'．通過點P（x，y）在函數y=log_a（x-3a）圖象上，代入即可得到函數y=g（x）的解析式；
（2）通過x∈[a+2，a+3]，求出|f（x）-g（x）|的最大值，利用最大值≤1，即可確定a的取值范圍；
（3）利用把y=g（x）的圖象向左平移a個單位得到y=h（x）的圖象，求出h（x）的解析式，通過函數F（x）=2a^1-h（x）-a^2-2h（x）+a^-h（x），（a＞0，且a≠1）求出F（x）的不等式，通過二次函數在的最大值為，求a的值．
解答：（本小題滿分12分）
解：（1）設點Q的坐標為（x'，y'），則x'=x-2a，y'=-y，即x=x'+2a，y=-y'．
∵點P（x，y）在函數y=log_a（x-3a）圖象上
∴-y'=log_a（x'+2a-3a），即
∴
（2）由題意x∈[a+2，a+3]，則x-3a=（a+2）-3a=-2a+2＞0，．
又a＞0，且a≠1，∴0＜a＜1，
∵|f（x）-g（x）|≤1∴，r（x）=x²-4ax+3a²對稱軸為x=2a
∵0＜a＜1∴a+2＞2a，則r（x）=x²-4ax+3a²在[a+2，a+3]上為增函數，
∴函數在[a+2，a+3]上為減函數，
從而[u（x）]_max=u（a+2）=log_a（4-4a）．
[u（x）]_min=u（a+3）=log_a（9-6a），

∴
（3）由（1）知，而把y=g（x）的圖象向左平移a個單位得到y=h（x）的圖象，則，
∴，
即F（x）=-a²x²+（2a+1）x，又a＞0，且a≠1，F（x）的對稱軸為，又在的最大值為，
①令；此時F（x）在上遞減，∴F（x）的最大值為，此時無解；
②令，又a＞0，且a≠1，∴；此時F（x）在上遞增，∴F（x）的最大值為，又，∴無解；
③令且a＞0，且a≠1
∴，此時F（x）的最大值為，
解得：，又，∴；
綜上，a的值為．
點評：本題考查函數的解析式的求法，坐標變換，函數的最值的應用，函數恒成立問題，二次函數閉區間上的最值問題的求解，綜合知識點多，難度較大．