Question

0＜a＜

1

5

是函數f（x）=ax²+2（a-1）x+2在區間（-∞，4]上為減函數的（　�。�

A．充分非必要條件

B．必要非充分條件

C．充要條件

D．非充分非必要條件

Answer 1

分析：分類討論：①當a＜0時，不那組題意，②當a=0時，滿足題意③a＞0時，二次函數對應的拋物線開口向上，對稱軸為x=

1-a

a

，函數的減區間是（-∞，

1-a

a

]，要使函數在區間（-∞，4]上為減函數，則需區間（-∞，4]在對稱軸左側，即

1-a

a

≥4，解之可得a的范圍．綜合可得其充要條件是0≤a≤

1

5

，由集合的包含關系可得答案．

解答：解：①當a＜0時，二次函數對應的拋物線開口向下，對稱軸為x=

1-a

a

，
故f（x）在（-∞，

1-a

a

]上單調遞增，不可能滿足在區間（-∞，4]上為減函數．
②當a=0時，f（x）=-2x+2，此時f（x）是一次函數，滿足在區間（-∞，4]上為減函數．
③a＞0時，二次函數對應的拋物線開口向上，對稱軸為x=

1-a

a

函數的減區間是（-∞，

1-a

a

]，要使函數在區間（-∞，4]上為減函數，
則需區間（-∞，4]在對稱軸左側，所以

1-a

a

≥4，解得a≤

1

5

．
綜上可得函數f（x）=ax²+2（a-1）x+2在區間（-∞，4]上為減函數的充要條件是0≤a≤

1

5

．
因為{a|0＜a＜

1

5

}是{a|0≤a≤

1

5

}的真子集，
所以0＜a＜

1

5

是函數f（x）=ax²+2（a-1）x+2在區間（-∞，4]上為減函數的充分不必要條件，
故選A

點評：本題考查充要條件的判斷，涉及二次函數的單調性，以及分類討論的思想，屬中檔題．