Question

數列{a_n}的前n項和記為S_n，S_n=2a_n-2．
（I）求{a_n}通項公式；
（Ⅱ）等差數列{b_n}的各項為正，其前3項和為6，又a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₄成等比數列，求{b_n}的通項公式；
（Ⅲ）記，數列{c_n}的前項和記為T_n，問是否存在常數k，使對任意的n≥k，n∈N，都有成立，若存在，求常數k的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）由S_n=2a_n-2，知S_n-1=2a_n-1-2，故a_n=2a_n-1，，由此能求出{a_n}通項公式．
（Ⅱ）由題設知，由此能求出{b_n}的通項公式．
（Ⅲ）由題設知，利用錯位相減法能得到=2-．由＜，知＜1，設，能夠推導出當k=6時，使對任意的n≥k，n∈N，都成立．
解答：解：（I）∵S_n=2a_n-2，則S_n-1=2a_n-1-2，
兩式相減，得a_n=2a_n-1，
，
當n=1時，S₁=a₁=2a₁-2，
∴a₁=2，
∴{a_n}是等比數列，公比為2，∴．
（Ⅱ）∵等差數列{b_n}的各項為正，其前3項和為6，
又a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₄成等比數列，
∴，
解得，或（舍）
∴b_n=n．
（Ⅲ）∵，數列{c_n}的前項和記為T_n，
∴，
2T_n=，
∴
=2--
=2-．
∴＜，即＜1，
設，
，
．
當n≥2時，d_n+1＜d_n，
，，，，
∴當k≥6時，使對任意的n≥k，n∈N，都成立．
點評：本題考查數列的通項公式的求法和判斷是否存在常數k，使對任意的n≥k，n∈N，都有成立．解題時要認真審題，注意迭代法和錯位相減法的靈活運用．