Question

試判斷f(x)=log

1

2

1

1+sinx

在區間[-

π

2

，

π

2

]上的奇偶性和單調性．

Answer 1

分析：根據對數函數的定義域先求出x的范圍，然后再判斷在區間[-

π

2

，

π

2

]上的奇偶性和單調性．

解答：解：∵f（x）=log

1

2

1

1+sinx

，
∴

1

1+sinx

＞0，∴1+sinx＞0，
∴sinx＞-1，∵x∈[-

π

2

，

π

2

]，
∴-

π

2

＜x≤

π

2

，此時sinx為整函數，∴

1

1+sinx

為減函數；
∵

1

2

＜1，
∴f（x）=log

1

2

1

1+sinx

在-

π

2

＜x≤

π

2

上為單調增函數；
∵f（-x）=log

1

2

1

1+sin(-x)

=log

1

2

1

1-sinx

≠f（x），
∴f（x）非奇非偶．

點評：此題主要考查函數的奇偶性和函數的單調性，考查的知識點比較全面，是一道好題．