Question

已知函數在點（-1，f（-1））的切線方程為x+y+3=0．
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）設g（x）=lnx，求證：g（x）≥f（x）在x∈[1，+∞）上恒成立；
（Ⅲ）已知0＜a＜b，求證：．

Answer 1

【答案】分析：（I）將切點橫坐標代入切線方程，求出切點，得到關于a，b的等式，求出f（x）的導數，將x=-1代入導函數，令得到的值等于切線的斜率-1．
（II）將要證的不等式變形，構造新函數h（x），求出其導函數，判斷出其符號，判斷出h（x）的單調性，求出h（x）的最小值，得到要證的不等式．
（III）將要證的不等式變形，轉化為關于的不等式，利用（II）得到的函數的單調性，得到恒成立的不等式，變形即得到要證的不等式．
解答：解：（Ⅰ）將x=-1代入切線方程得y=-2
∴，
化簡得b-a=-4


解得：a=2，b=-2．
∴．
（Ⅱ）由已知得在[1，+∞）上恒成立
化簡（x²+1）lnx≥2x-2
即x²lnx+lnx-2x+2≥0在[1，+∞）上恒成立
設h（x）=x²lnx+lnx-2x+2，

∵x≥1
∴，
即h'（x）≥0
∴h（x）在[1，+∞）上單調遞增，h（x）≥h（1）=0
∴g（x）≥f（x）在x∈[1，+∞）上恒成立                      
（Ⅲ）∵0＜a＜b
∴，
由（Ⅱ）知有
整理得
∴當0＜a＜b時，．
點評：本題考查導數在最大值與最小值問題中的應用，解題的關鍵是利用導數研究出函數的單調性，判斷出函數的最值，本題第二小題是證明不等式恒成立，通過構造函數轉化為不等式恒成立，恒成立的問題一般轉化最值問題來求解，本題即轉化為用單調性求函數在閉區間上的最值的問題，求出最值再判斷出參數的取值．本題運算量過大，解題時要認真嚴謹，避免變形運算失誤，導致解題失敗．